Formula used in “waterPML” command (5)

waterPMLコマンドで用いている計算式

(5) 地震波動ソースの与え方

(Formula used in waterPML command; (5) Defining the seismic wave source)

waterPMLコマンドで用いる運動方程式は (1)微分方程式の(20)式 \[\begin{equation} \rho \left(\PartialDiff{}{t}+\alpha^k\right) V_i^k = \sum_l \tau_{ik,k}^l + \delta_{k0} f_i \label{eq.motion.Vik.sumT.PML} \end{equation}\] である。waterPMLコマンドでは地震波動ソースをこの最後の項の\(f_i\)によって表現する。すなわち等価体積力で与える。
The waterPML command uses the equation of motion given by Eq. (20) of (1) Differential equations, which is reproduced in Eq. (\ref{eq.motion.Vik.sumT.PML}). The seismic wave source is expressed by \(f_i\) in the last term of this equation, i.e., an equivalent body force.

等価体積力は位置の関数と時間の関数の積で表現する。更にそれを複数個重ね合わせることもできる。式で書くと \[\begin{equation} f_i(\posx,t)=\sum_{is}F_i^{(is)}(\posx)s^{(is)}(t) \label{eq.source.generalExpression} \end{equation}\] である。
The equivalent body force is expressed as the product of functions of position and time. Multiple sources, each of which is expressed in this form, can be summed. Eq. (\ref{eq.source.generalExpression}) shows this expression.

(\ref{eq.source.generalExpression})式において、\(F_i^{(is)}(\posx)\)は is番目のソースが作る等価体積力の\(x_i\)方向成分を表す位置の関数である。このソースは1つの決まった(時間変化しない)ソース位置とメカニズムを持つ。メカニズムとは例えば「等方ソース」とか「N30°Eの走向を持つ鉛直開口クラック」などのことで、メカニズムを決めれば力の組合せ方が決まる。これは計算時間全体を通して変化しないものとする。すなわち、ある地点における\(x\)方向の力\(F_x^{(is)}\)と \(y\)方向の力\(F_y^{(is)}\)の比、あるいはある地点における\(F_x^{(is)}\)と隣の場所の\(F_x^{(is)}\)の比などは時間変化しない。ただ、力の大きさそのものは時間変化するので、その関数形を\(s^{(is)}(t)\)で与える。
\(F_i^{(is)}(\posx)\) in Eq. (\ref{eq.source.generalExpression}) is a function of position that represents the \(x_i\)-component of the equivalent body force for the isth source. This source has a stationary (time-invariant) source location and mechanism. Here, the word “mechanism” refers to information on the source geometry sufficient to determine the combination of forces, for example “an isotropic source”, or “a vertical tensile crack with N30°E strike”. The combination of the force is assumed to be stationary throughout the entire computation time. For example, the ratio of the \(x\)-component of the force \(F_x^{(is)}\) and the \(y\)-component of the force \(F_y^{(is)}\) at a position, or the ratio of \(F_x^{(is)}\) between two adjacent points, are assumed to be time-invariant. The absolute amplitude of the force changes with time, which is given by the function \(s^{(is)}(t)\).

◆設定ファイルとの関係 (Relation to the configration file)

waterPMLコマンドでは地震波動ソースの設定をパラメータsource_fileで指定した設定ファイルで与える。この設定と(\ref{eq.source.generalExpression})式の関係は以下のようになる。
The configuration of the seismic wave source is given by a configuration file specified by parameter source_file in the waterPML command. The configuration given in this file is linked to Eq. (\ref{eq.source.generalExpression}) in the following way.

設定ファイルにおいてnewsourceから始まる1つのブロックが 1つのisの値に対応する。
Each block starting with newsource in the configuration file corresponds to each value of is.
個々のソースに対するパラメータのうち、 stfun_name, stfun_tp, stfun_tsは関数\(s^{(is)}(t)\)を決めるために用いられる。
Parameters stfun_name, stfun_tp, and stfun_ts for each source are used to define the function \(s^{(is)}(t)\).
個々のソースに関する残りのパラメータは関数\(F_i^{(is)}(\posx)\)を決めるために用いられる。
The other parameters for each source are used to define the function \(F_i^{(is)}(\posx)\).

◆ソースメカニズムに応じた\(F_i^{(is)}(\posx)\)の与え方 (Definition of \(F_i^{(is)}(\posx)\) for each source mechanism)

waterPMLコマンドでは点ソースのみを使用できる。設定ファイルで与えた点ソースの位置を最寄りの格子セル中心点で近似する。
Only the point source mechanisms are available in the waterPML command. The location of the point source is approximated by the center of the nearest grid cell.
使用可能なソースメカニズムはこのページに列挙されている。いずれもシングルフォースやモーメントテンソルを大きさと向きで指定するか、直交座標系に沿う成分の大きさで指定する。前者(大きさと向きで指定)の場合、標準的な座標回転によりシングルフォース3成分、モーメントテンソル6成分の計算が行われる。この過程には特記すべき取り扱いは無い。
Available source mechanisms are listed in this page. Each mechanism is expressed by the magnitude and orientation of a single force or a moment tensor, or by a component of the single force or moment tensor parallel to the cartesian coordinate axis. In the former case (a mechanism specified by the magnitude and orientation), the three single force and six moment tensor components are computed using a standard coordinate rotation operation; there is no special treatment in this procedure.
したがって、以下ではシングルフォース3成分、モーメントテンソル6成分が得られているものとして、それらを差分法のスキーム内でどのように表現するかに絞って解説する。なお、この表現方法は基本的にOhminato and Chouet (1997)と同じものである。
Therefore, the description below assumes that the three single force and six moment tensor components have already been obtained, and focuses on how to express them in the finite difference scheme. Note that this scheme is essentially same as that proposed by Ohminato and Chouet (1997).

●シングルフォース成分\(F_i\) (A single force component \(F_i\))

位置\(\posx\)(格子セルの中心点)においてシングルフォースの\(x_i\)方向成分\(F_i\)を与えたい。等価体積力を直接与えることができる地点は \(x_i\)軸に直交する格子セル境界面の中心点である。したがって\(\posx\)の両側の境界面の中心点\(\posx\pm\Delta\posx_i/2\)に同じ大きさと向きの等価体積力を与えればその和が近似的に\(F_i\)を表すことになる(図1)。 (\ref{eq.source.generalExpression})式の\(f_i\) (したがって\(F_i^{(is)}\)も) が単位体積あたりの力であることに留意すると \[\begin{equation} F_i^{(is)}\left(\posx\pm\frac{\Delta\posx_i}{2}\right) =\frac{F_i}{2\Delta x\Delta y\Delta z} \label{eq.single_force.def} \end{equation}\] とすれば良い。実際、このとき合力は \[\begin{eqnarray} & & \left[ F_i^{(is)}\left(\posx+\frac{\Delta\posx_i}{2}\right) +F_i^{(is)}\left(\posx-\frac{\Delta\posx_i}{2}\right) \right]\Delta x\Delta y\Delta z \nonumber \\ &=& \left[ \frac{F_i}{2\Delta x\Delta y\Delta z} +\frac{F_i}{2\Delta x\Delta y\Delta z} \right]\Delta x\Delta y\Delta z \nonumber \\ &=& F_i \label{eq.single_force.check} \end{eqnarray}\] となって意図通りの力が働くことが分かる。
Consider to put the \(x_i\)-direction component of a single force \(F_i\) at a location \(\posx\) that is at the center of a grid cell. The equivalent body forces can be given at the centers of surface planes of grid cells orthogonal to the \(x_i\) axis. Therefore, \(F_i\) can be approximated by equivalent body forces of the same magnitude and direction at the centers of the boundary planes at the both sides of \(\posx\) (i.e., \(\posx\pm\Delta\posx_i/2\); Fig. 1). Note that \(f_i\) (and thus \(F_i^{(is)}\)) in Eq. (\ref{eq.source.generalExpression}) is a force per unit volume. Therefore, the equivalent body force should be given as Eq. (\ref{eq.single_force.def}). Indeed, the total force in this case is calcalated as Eq. (\ref{eq.single_force.check}), which is equal to the force intended to be exerted.

図1. 赤色の格子セルの中心点にシングルフォース成分\(F_i\)を作用させるための等価体積力(青)の組合せ。
Fig. 1. Combination of equivalent body forces (blue) to achieve a single force component \(F_i\) at the center of the red grid cell.

●モーメントテンソルの対角成分\(M_{ii}\) (A diagonal moment tensor component \(M_{ii}\))

位置\(\posx\)においてモーメントテンソルの対角成分\(M_{ii}\)を与えたい。そのためには位置\(\posx\pm\Delta\posx_i/2\)に大きさが等しい反対向きの等価体積力を \[\begin{equation} F_i^{(is)}\left(\posx\pm\frac{\Delta\posx_i}{2}\right) =\pm\frac{M_{ii}}{|\Delta\posx_i|\Delta x\Delta y\Delta z} \label{eq.moment_diagonal.def} \end{equation}\] のように与えれば良い(図2)。このとき位置\(\posx\)に作用する力のモーメントは \[\begin{eqnarray} & & \left[ F_i^{(is)}\left(\posx+\frac{\Delta\posx_i}{2}\right) \cdot \frac{|\Delta\posx_i|}{2} +F_i^{(is)}\left(\posx-\frac{\Delta\posx_i}{2}\right) \cdot \left(-\frac{|\Delta\posx_i|}{2}\right) \right] \Delta x\Delta y\Delta z \nonumber \\ &=& \left[ \frac{M_{ii}}{|\Delta\posx_i|\Delta x\Delta y\Delta z} \cdot \frac{|\Delta\posx_i|}{2} +\left(-\frac{M_{ii}}{|\Delta\posx_i|\Delta x\Delta y\Delta z}\right) \cdot \left(-\frac{|\Delta\posx_i|}{2}\right) \right] \Delta x\Delta y\Delta z \nonumber \\ &=& M_{ii} \label{eq.moment_diagonal.check} \end{eqnarray}\] となって意図通りのモーメントが作用することが分かる。
Consider to put a diagonal moment tensor component \(M_{ii}\) at the location \(\posx\). This is achieved by giving equivalent body forces of the same magnitude and opposite directions at locations \(\posx\pm\Delta\posx_i/2\) as Eq. (\ref{eq.moment_diagonal.def}) (Fig. 2). Indeed, the moment of the force exerted at \(\posx\) is computed in this case as Eq. (\ref{eq.moment_diagonal.check}).

図2. 赤色の格子セルの中心点にモーメントテンソルの対角成分\(M_{ii}\)を作用させるための等価体積力(青)の組合せ。
Fig. 2. Combination of equivalent body forces (blue) to achieve a diagonal moment tensor component \(M_{ii}\) at the center of the red grid cell.

●モーメントテンソルの非対角成分\(M_{ij}\), \(i\neq j\) (A off-diagonal moment tensor component \(M_{ij}\), \(i\neq j\))

位置\(\posx\)においてモーメントテンソルの非対角成分\(M_{ij}\) (\(i\neq j\))を与えたい。等価体積力が定義される位置を踏まえると \(M_{ij}\)は図3に示す等価体積力の組合せによって表現でき、数式で表すと \[\begin{equation} F_i^{(is)}\left(\posx\pm\frac{\Delta\posx_i}{2}+\Delta\posx_j\right) =\frac{M_{ij}}{4|\Delta\posx_j|\Delta x\Delta y\Delta z} \label{eq.moment_off_diagonal.def.positive} \end{equation}\] \[\begin{equation} F_i^{(is)}\left(\posx\pm\frac{\Delta\posx_i}{2}-\Delta\posx_j\right) =-\frac{M_{ij}}{4|\Delta\posx_j|\Delta x\Delta y\Delta z} \label{eq.moment_off_diagonal.def.negative} \end{equation}\] となる。実際このとき位置\(\posx\)に作用する力のモーメントは \[\begin{eqnarray} & & \left\{ \left[ F_i^{(is)}\left(\posx+\frac{\Delta\posx_i}{2}+\Delta\posx_j\right) +F_i^{(is)}\left(\posx-\frac{\Delta\posx_i}{2}+\Delta\posx_j\right) \right]\cdot |\Delta\posx_j| \right. \nonumber \\ & & \left. \left[ F_i^{(is)}\left(\posx+\frac{\Delta\posx_i}{2}-\Delta\posx_j\right) +F_i^{(is)}\left(\posx-\frac{\Delta\posx_i}{2}-\Delta\posx_j\right) \right]\cdot \left(-|\Delta\posx_j|\right) \right\} \Delta x\Delta y\Delta z \nonumber \\ &=& \left\{ \left[ \frac{M_{ij}}{4|\Delta\posx_j|\Delta x\Delta y\Delta z} +\frac{M_{ij}}{4|\Delta\posx_j|\Delta x\Delta y\Delta z} \right]\cdot |\Delta\posx_j| \right. \nonumber \\ & & \left. \left[ -\frac{M_{ij}}{4|\Delta\posx_j|\Delta x\Delta y\Delta z} -\frac{M_{ij}}{4|\Delta\posx_j|\Delta x\Delta y\Delta z} \right]\cdot \left(-|\Delta\posx_j|\right) \right\} \Delta x\Delta y\Delta z \nonumber \\ &=& M_{ij} \label{eq.moment_off_diagonal.check} \end{eqnarray}\] となって意図通りのモーメントが作用することが分かる。
Consider to put a off-diagonal moment tensor component \(M_{ij}\) (\(i\neq j\)) at the location \(\posx\). This is achieved by a combination of equivalent body forces shown in Fig. 3 according to the definition points of the forces. Mathematically, this combination is given by Eqs. (\ref{eq.moment_off_diagonal.def.positive}) and (\ref{eq.moment_off_diagonal.def.negative}). Indeed, the moment of the force exerted at \(\posx\) is computed in this case as Eq. (\ref{eq.moment_off_diagonal.check}).

図3. 赤色の格子セルの中心点にモーメントテンソルの非対角成分\(M_{ij}\)を作用させるための等価体積力(青)の組合せ。
Fig. 3. Combination of equivalent body forces (blue) to achieve a off-diagonal moment tensor component \(M_{ij}\) at the center of the red grid cell.

●傾斜変動を相反定理を用いて計算するためのソース (A source to compute tilt using the reciprocity theorem)

相反定理ではソースと観測点を入れ替えるのであるから、出力ファイル—観測点での波形において傾斜変動レートの波形を合成するために用いる速度成分と同様に等価体積力を合成すれば良い。
The reciprocity theorem swaps the source and receiver. Therefore, this virtual source is synthesized from the equivalent body forces just in the same manner as synthezising tilt-rate waveforms from the velocity components described in output files—waveforms at stations.