WIHMコマンドで用いている計算式
(Formula used in WIHM command)
1. 共通の記号
(Common notations)
- WIHMコマンドでは点ソースを仮定し、
ソース位置を\(\posxi=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)^T\)とする。
A point source is assumed in WIHM command,
and the source location is expressed by
\(\posxi=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)^T\).
- 観測点位置(波形を計算する地点)を\(\posx=(x_1,x_2,x_3)^T\)とする。
The station location
(i.e., the location where the waveforms are to be computed)
is expressed by \(\posx=(x_1,x_2,x_3)^T\).
- ソースから観測点までの距離を
\[\begin{equation}
r \equiv |\posx-\posxi|
\label{eq.r}
\end{equation}\]
とする。
The distance from the source to the station
is expressed by \(r\) (eq. \ref{eq.r}).
- ソースから観測点に向かう単位方向ベクトルを
\[\begin{equation}
\myvector{\gamma} \equiv \frac{\posx-\posxi}{r}
\label{eq.gamma}
\end{equation}\]
とする。
The unit directional vector from the source to the station
is expressed by \(\myvector{\gamma}\) (eq. \ref{eq.gamma}).
- 計算する観測点での変位波形を
\(\myvector{u}(t)=(u_1(t),u_2(t),u_3(t))\)とする。
\(t\)は時刻を表す。
The displacement waveform at the station to compute
is expressed by \(\myvector{u}(t)=(u_1(t),u_2(t),u_3(t))\),
where \(t\) is time.
- 変位の成分を\(n\)、
地震波動ソースとして作用する力の成分を\(p\)、
力の空間微分の成分を\(q\)で表す。
Indices \(n\), \(p\), and \(q\) represent
a component of the displacement,
a component of the force exerted as the source of the seismic wave,
and a direction for the spatial derivative of the force,
respectively.
- WIHMコマンドでは均質媒質を仮定し、
密度を\(\rho\)、P波速度を\(\alpha\)、S波速度を\(\beta\)とする。
A homogeneous medium is assumed in WIHM command,
and \(\rho\), \(\alpha\), and \(\beta\) represent
the density, P-wave velocity, and S-wave velocity
of the medium, respectively.
- \(\pi\)は円周率を表す。
\(\pi\) is the circular constant.
- \(\delta_{np}\)はクロネッカーのデルタを表す。
\(\delta_{np}\) is Cronecker delta.
2. シングルフォースが作る変位波形
(Displacement waveforms generated by a single force)
Aki and Richards (2002)の(4.27)式を使用する。
シングルフォースの時間関数を
\(\myvector{F}(t)=(F_1(t),F_2(t),F_3(t))^T\)
とおくと、変位波形は以下の式で与えられる。
Eq. (4.27) of Aki and Richards (2002) is used.
Let \(\myvector{F}(t)=(F_1(t),F_2(t),F_3(t))^T\)
be the time function of the single force.
Then the displacement waveform is given by the formula below.
\[\begin{equation}
u_n(t)=u_n^{N}(t)+u_n^{FP}(t)+u_n^{FS}(t)
\hspace{1em} (n=1,2,3)
\label{eq.F}
\end{equation}\]
- 近地項
(Near-field term) :
\[\begin{equation}
u_n^{N}(t)=
\sum_{p=1}^3
\frac{1}{4\pi\rho}(3\gamma_n\gamma_p-\delta_{np})
\frac{1}{r^3}\int_{r/\alpha}^{r/\beta}\tau F_p(t-\tau)d\tau
\label{eq.F.N}
\end{equation}\]
- 遠地P波項
(Far-field P-wave term) :
\[\begin{equation}
u_n^{FP}(t)=
\sum_{p=1}^3\frac{1}{4\pi\rho\alpha^2}\gamma_n\gamma_p
\frac{1}{r}F_p\left(t-\frac{r}{\alpha}\right)
\label{eq.F.FP}
\end{equation}\]
- 遠地S波項
(Far-field S-wave term) :
\[\begin{equation}
u_n^{FS}(t)=
-\sum_{p=1}^3\frac{1}{4\pi\rho\beta^2}(\gamma_n\gamma_p-\delta_{np})
\frac{1}{r}F_p\left(t-\frac{r}{\beta}\right)
\label{eq.F.FS}
\end{equation}\]
3. モーメントテンソルが作る変位波形
(Displacement waveforms generated by a moment tensor)
Aki and Richards (2002)の(4.29)式を使用する。
モーメントテンソルの時間関数を
\[\begin{equation}
\myvector{M}(t)=
\begin{pmatrix}
M_{11}(t) & M_{12}(t) & M_{13}(t) \\
M_{21}(t) & M_{22}(t) & M_{23}(t) \\
M_{31}(t) & M_{32}(t) & M_{33}(t)
\end{pmatrix}
\label{eq.moment}
\end{equation}\]
とおくと、変位波形は以下の式で与えられる。
Eq. (4.29) of Aki and Richards (2002) is used.
Let \(\myvector{M}(t)\) (eq. \ref{eq.moment})
be the time function of the moment tensor.
Then the displacement waveform is given by the formula below.
\[\begin{equation}
u_n(t)=u_n^{N}(t)+u_n^{IP}(t)+u_n^{IS}(t)+u_n^{FP}(t)+u_n^{FS}(t)
\hspace{1em} (n=1,2,3)
\label{eq.M}
\end{equation}\]
- 近地項
(Near-field term) :
\[\begin{eqnarray}
u_n^{N}(t)
&=& \sum_{p=1}^3\sum_{q=1}^3
\frac{15\gamma_n\gamma_p\gamma_q-3\gamma_n\delta_{pq}
-3\gamma_p\delta_{nq}-3\gamma_q\delta_{np}}{4\pi\rho}
\nonumber \\
& & \frac{1}{r^4}\int_{r/\alpha}^{r/\beta}\tau M_{pq}(t-\tau)d\tau
\label{eq.M.N}
\end{eqnarray}\]
- 中間P波項
(Intermediate-field P-wave term) :
\[\begin{equation}
u_n^{IP}(t)=
\sum_{p=1}^3\sum_{q=1}^3
\frac{6\gamma_n\gamma_p\gamma_q-\gamma_n\delta_{pq}
-\gamma_p\delta_{nq}-\gamma_q\delta_{np}}{4\pi\rho\alpha^2}
\frac{1}{r^2}M_{pq}\left(t-\frac{r}{\alpha}\right)
\label{eq.M.IP}
\end{equation}\]
- 中間S波項
(Intermediate-field S-wave term) :
\[\begin{equation}
u_n^{IS}(t)=
-\sum_{p=1}^3\sum_{q=1}^3
\frac{6\gamma_n\gamma_p\gamma_q-\gamma_n\delta_{pq}
-\gamma_p\delta_{nq}-2\gamma_q\delta_{np}}{4\pi\rho\beta^2}
\frac{1}{r^2}M_{pq}\left(t-\frac{r}{\beta}\right)
\label{eq.M.IS}
\end{equation}\]
- 遠地P波項
(Far-field P-wave term) :
\[\begin{equation}
u_n^{FP}(t)=
\sum_{p=1}^3\sum_{q=1}^3
\frac{\gamma_n\gamma_p\gamma_q}{4\pi\rho\alpha^3}
\frac{1}{r}\dot{M}_{pq}\left(t-\frac{r}{\alpha}\right)
\label{eq.M.FP}
\end{equation}\]
- 遠地S波項
(Far-field S-wave term) :
\[\begin{equation}
u_n^{FS}(t)=
-\sum_{p=1}^3\sum_{q=1}^3
\frac{\gamma_n\gamma_p-\delta_{np}}{4\pi\rho\beta^3}\gamma_q
\frac{1}{r}\dot{M}_{pq}\left(t-\frac{r}{\beta}\right)
\label{eq.M.FS}
\end{equation}\]
4. 計算方法
(Computation method)
WIHMコマンドでは\(F(t)\)や\(M(t)\)の時間関数を解析式で与える。
また、それらの時間関数の導関数についても解析式が利用できる。
したがって中間項や遠地項はすべて解析式を用いて
時刻\(t\)での値を計算できる。
Time functions of \(F(t)\) and \(M(t)\)
are given by analytical formulas in WIHM command.
Analytical formulas are also available for
the derivatives of these time functions.
Therefore, the values of all intermediate- and far-field terms
at time \(t\) can be computed analytically.
WIHMコマンドでは数値積分による誤差を避けるため、
近地項についても解析式を導出してそれを用いている。
\(G(t)\)を2階微分可能な関数とし、
その1階導関数を\(g_1(t)\equiv\dot{G}(t)\)、
2階導関数を\(g_2(t)\equiv\dot{g_1}(t)=\ddot{G}(t)\)とする。
\(a\), \(b\)を定数として
\[\begin{equation}
I(g_2;a,b;t) \equiv \int_a^b \tau g_2(t-\tau) d\tau
\label{eq.I.definition}
\end{equation}\]
を考える。
この積分は次のように変形できる。
\[\begin{eqnarray}
I(g_2;a,b;t)
&=& \int_a^b \tau g_2(t-\tau) d\tau \nonumber \\
&=& \left[-\tau g_1(t-\tau)\right]_a^b -\int_a^b -g_1(t-\tau) d\tau
\nonumber \\
&=& \left[\left\{-b g_1(t-b)\right\}-\left\{-a g_1(t-a)\right\}\right]
+\int_a^b g_1(t-\tau) d\tau \nonumber \\
&=& -\left[b g_1(t-b) - a g_1(t-a)\right]
+\left[-G(t-\tau)\right]_a^b \nonumber \\
&=& -\left[b g_1(t-b) - a g_1(t-a)\right]
-\left[G(t-b)-G(t-a)\right]
\label{eq.I.analytical}
\end{eqnarray}\]
(\ref{eq.F.N})式は\(I(F;r/\alpha,r/\beta;t)\)、
(\ref{eq.M.N})式は\(I(M;r/\alpha,r/\beta;t)\)
である。
したがって震源時間関数(\(F(t)\)や\(M(t)\))を
(\ref{eq.I.analytical})式の\(g_2(t)\)と見なすことができ、
\(g_1(t)\)は震源時間関数の1階積分、
\(G(t)\)は震源時間関数の2階積分である。
ymaeda_opentoolsでは時間関数の1階積分や2階積分の解析式も利用できるので、
(\ref{eq.I.analytical})式を用いれば近地項も解析的に計算できる。
To avoid errors caused by numerical integration,
the near-field term is also composed analytically
in WIHM command.
Let \(G(t)\) be a function that can be differentiated twice,
and \(g_1(t)\equiv\dot{G}(t)\) and \(g_2(t)\equiv\dot{g_1}(t)=\ddot{G}(t)\)
be the 1st- and 2nd-order derivatives of \(G(t)\), respectively.
Let \(a\) and \(b\) be constants,
and an integral \(I(g_2;a,b;t)\) be defined by eq. (\ref{eq.I.definition}).
This integral can be arranged as (\ref{eq.I.analytical}).
Note that eqs. (\ref{eq.F.N}) and (\ref{eq.M.N}) are equivalent to
\(I(F;r/\alpha,r/\beta;t)\) and \(I(M;r/\alpha,r/\beta;t)\), respectively.
Therefore the source time functions (\(F(t)\) and \(M(t)\))
can be regarded as \(g_2(t)\) in eq. (\ref{eq.I.analytical});
\(g_1(t)\) and \(G(t)\) are 1st- and 2nd-order integrals
of the source time function, respectively.
Analytical formulas for the 1st- and 2nd-order integrals
of time functions are available in ymaeda_opentools,
meaning that the near-field term can be computed analytically
using eq. (\ref{eq.I.analytical}).